Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku

Załóżmy, że ładunek q poruszał się ze stałą prędkością v₀ w kierunku x przez dłuższy czas. Nagle zatrzymuje się po krótkim okresie stałego hamowania. Pole elektryczne ładunku rozchodzi się radialnie na zewnątrz i porusza się z prędkością, którą miał ładunek podczas emisji tego pola.

Zakładając, że v₀ << c możemy zaniedbać relatywistyczną kompresję linii pola. Czas t=0 to była chwila, gdy rozpoczęło się hamowanie, a położenie x=0 to położenie cząstki w tamtej chwili. Cząstka przemieściła się trochę dalej przed zatrzymaniem, Δx=1/2*v₀Δt₁. Ten dystans jest bardzo mały w porównaniu z innymi odległościami na rysunku.

Teraz przyjrzyjmy się polu elektrycznemu w chwili t=Δt₂>>Δt₁. Pole elektryczne osiąga dystans R=cΔt₂. Zatem, pole w obszarze I musi być polem ładunku, który się poruszał i nadal się porusza ze stałą prędkością v₀. Wydaje się, że to pole pochodzi z punktu x=v₀Δt₂ na osi x. To jest tam, gdzie cząstka byłaby teraz, gdyby się nie zatrzymała. Z drugiej strony, pole w odległości mniejszej niż c(Δt₂-Δt₁), w obszarze II musi być polem cząstki w spoczynku blisko pozycji x=0 (dokładnie w x=1/2*v₀Δt₁).

Jakie musi być pole w obszarze przejściowym, sferycznej powłoce o grubości cΔt₁ pomiędzy obszarem I i obszarem II? Odcinek linii pola AB leży na stożku w okół osi x, który zawiera pewną ilość strumienia pochodzącego od ładunku q. Ze względu na prawo Gaussa, jeżeli CD tworzy ten sam kąt θ z osią, stożek, na którym on leży zawiera taką samą ilość strumienia. (Ze względu na to, że v₀ << c, możemy zaniedbać relatywistyczną kompresję linii pola.) Dlatego AB i CD muszą być częściami tej samej linii pola, połączonej przez odcinek BC. Odcinek linii BC pokazuje nam kierunek pola E wewnątrz powłoki. To pole E wewnątrz powłoki ma zarówno składową radialną E_r, jak i składową poprzeczną E_θ. Z geometrii rysunku ich stosunek jest łatwo znaleźć.

Ze względu na prawo Gaussa, E_r musi mieć taką samą wartość wewnątrz grubości powłoki, jaką ma w obszarze II blisko B. Dlatego E_r=q/4πε₀R²=q/4πε₀c²Δt₂², i stosując to w Równaniu. 1 otrzymujemy
I v₀/Δt₁ = a, wartość (negatywnego) przyspieszenia, a cΔt₂= R, więc nasz rezultat może być zapisany w postaci Objawił się tutaj niezwykły fakt: E_θ jest proporcjoalne do 1/R, nie do 1/R²! W miarę upływu czasu i wraz ze wzrostem R poprzeczne pole E_θ ostatecznie stanie się dużo silniejsze niż E_r. Towarzyszyć temu poprzecznemu polu elektrycznemu (,które jest prostopadłe do R) będzie pole magnetyczne o równej sile poprzecznej do zarówno R, jak i E. To jest ogólna własność fali elektromagnetycznej.

Teraz obliczamy energię zgromadzoną w poprzecznym polu elektrycznym powyżej, w całej sferycznej powłoce. Gęstość energii równa się

Objętość powłoki równa się 4πR²cΔt₁, a średnia wartość sin²θ po powierzchni kuli równa się 2/3. Całkowita energia poprzecznego pola elektrycznego równa się zatem Do tego musimy dodać równą ilość dla energii zgromadzonej w poprzecznym polu magnetycznym:
Całkowita energia w poprzecznym polu elektromagnetycznym równa się Promień R zniósł się. Ta ilość energii poprostu rozchodzi się na zewnątrz, niesłabnąca, z prędkością c od strony hamowania. Ze względu na to, że Δt₁ jest czasem hamowania i jest także czasem impulsu elektromagnetycznego, który mierzy odległy obserwator, możemy powiedzieć, że moc promieniowana podczas procesu przyspieszania równała się Jako, że jest to kwadrat chwilowego przyspieszenia, które pojawia się w Równaniu 7, nie ma znaczenia czy a jest dodatnie czy ujemne. Oczywiście nie powinno, dla zatrzymywania w jednym układzie inercjalnym może być startowaniem w innym. Mówiąc o róznych układach, P_rad samo okazuje się być niezmiennicze względem transformacji Lorentza, co jest czasem bardzo przydatne. To dlatego, że P_rad to energia/czas, a energia trasformuje się tak jak czas, zawsze będąc czwartą składową czterowektora. Mamy tutaj bardziej ogólny rezultat niż mogliśmy się spodziewać. Równanie 7 prawidłowo daje chwilową ilość promieniowania energii przez naładowaną cząstkę poruszającą się ze zmiennym przyspieszeniem-na przykład, cząstkę poruszającą się ruchem harmonicznym prostym. Odnosi się to do szerokiej gamy systemów promieniujących od anten radiowych do atomów i jąder.